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康托展开

其中,{\displaystyle a_{i}}为整数,并且{\displaystyle 0\leq a_{i}<i,1\leq i\leq n}。

{\displaystyle a_{i}}的意义参见举例中的解释部分

举例

例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

int kontuo(int n, string a){// n为全排列位数 a为当前排列	int i, j, sum, t;	sum = 0;	for(i = 0; i < n; ++i){		t = 0;		for(j = i+1; j < n; ++j){			if(a[i] > a[j])				++t;		}		sum += t*fac(n-i-1);	}	return sum + 1;//计算的sum为a之前的序列数 返回加1即为a所在序列数}

康托展开的逆运算

既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96时：

首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.用1去除1!得到1余0，这一位是2.最后一位只能是1.所以这个数是45321.

string revKontuo(int sum,int n){//sum为待求排列所在位置序列 n为全排列位数	int i, j,mod,s,f,t;	string ss = "";	sum = sum -1;//减一得到前面的康拓展开的结果	for(i = 1; i <= n; ++i){		t = 0;		f = fac(n-i);		s = sum/f;		sum = sum%f;		for(j = 1; j <= n; ++j){			if(!vis[j]){				if(s == 0) break;//这里两个语句位置不能颠倒 因为 关系到下面的 j还是j+1				--s;			}		}		ss = ss + char(j+'0');		vis[j] = true;	}	return ss;}

注意：这里 为什么 逆序 依次除 (n-1)!      、 (n-2)! ... 我发现一个规律 就是 一以 1234为例        4! = 3*3! + 2*2! + 1*1! + 0*0!+1

               后面的和加起来比最前面的阶乘小一，也就不会影响最前面的商的结果，逆序除最大项（n-1）！ 得到的商 一定是康拓展开时候的(n-1)!的系数，

              依次进行这样操作，最终每个系数都可以得到且正是康拓展开的结果

long long fac(int n){	if(n == 0 || n == 1)		return 1;	return n*fac(n-1);	}

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